ベクトルの直交について - 天に跼り地に蹐す

ユークリッド空間上のベクトルの直交に関する公式 $\vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0 \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ が愚鈍な私にとっては自明でないので、これを図形的に理解したい。次の図が直感的な理解を助けるだろう。

2ベクトルが直交した図

$\vec{a} \cdot \vec{b} =\vec{a} \cdot \vec{c} \iff |b|\cos\theta_1 = |c|\cos\theta_2$ （ $|a| > 0$ ）であり、公式 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ の主張するところはつまり「垂直線上の点を終点とするベクトルの正射影（ $|x|\cos\theta$ という形で表せる）はすべて等しい」ということである。